求解 {r}{x+1/2+y-1/3=8}{x-1/3+y+1/2=9}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 8 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=7$$

$$y=13$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

求 \frac{1}{2} 与 x+1 的乘积。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

求 \frac{1}{3} 与 y-1 的乘积。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

将 -\frac{1}{3} 加上 \frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

将等式的两边同时减去 \frac{y}{3}。

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}$$

将两边同时乘以 2。

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)$$

求 2 与 -\frac{y}{3}+\frac{47}{6} 的乘积。

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}$$

用 \frac{-2y+47}{3} 替换另一个方程式中 \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9 中的 x。

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

将 -1 加上 \frac{47}{3}。

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

求 \frac{1}{3} 与 \frac{-2y+44}{3} 的乘积。

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

求 \frac{1}{2} 与 y+1 的乘积。

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

将 \frac{y}{2} 加上 -\frac{2y}{9}。

$$\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9$$

将 \frac{1}{2} 加上 \frac{44}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9$$

将等式的两边同时减去 \frac{97}{18}。

$$\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}$$

等式两边同时除以 \frac{5}{18}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$y=13$$

用 13 替换 x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}$$

求 -\frac{2}{3} 与 13 的乘积。

$$x=\frac{-26+47}{3}$$

将 -\frac{26}{3} 加上 \frac{47}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=7$$

系统现在已得到解决。

$$x=7,y=13$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

求 \frac{1}{2} 与 x+1 的乘积。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

求 \frac{1}{3} 与 y-1 的乘积。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

将 -\frac{1}{3} 加上 \frac{1}{2}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

求 \frac{1}{3} 与 x-1 的乘积。

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

求 \frac{1}{2} 与 y+1 的乘积。

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

将 \frac{1}{2} 加上 -\frac{1}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{6}。

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=7,y=13$$