求解 {l}{x^2-y^2=7}{2y=2+x}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 7 } \\ { 2 y = 2 + x } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=4\text{, }y=3$$

$$x=-\frac{8}{3}\approx -2.666666667\text{, }y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 2 个公式。 将方程式两边同时减去 x。

$$2y-x=2$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$2y-x=2,x^{2}-y^{2}=7$$

通过在等号左侧隔离 y 来解决 y 的 2y-x=2。

$$2y-x=2$$

将等式的两边同时减去 -x。

$$2y=x+2$$

两边同时除以 2。

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

用 \frac{1}{2}x+1 替换另一个方程式中 x^{2}-y^{2}=7 中的 y。

$$x^{2}-\left(\frac{1}{2}x+1\right)^{2}=7$$

对 \frac{1}{2}x+1 进行平方运算。

$$x^{2}-\left(\frac{1}{4}x^{2}+x+1\right)=7$$

求 -1 与 \frac{1}{4}x^{2}+x+1 的乘积。

$$x^{2}-\frac{1}{4}x^{2}-x-1=7$$

将 -\frac{1}{4}x^{2} 加上 x^{2}。

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-1=7$$

将等式的两边同时减去 7。

$$\frac{3}{4}x^{2}-x-8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} 替换 a，-\frac{1}{2}\times 2 替换 b，并用 -8 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times \frac{3}{4}\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

求 -4 与 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-3\left(-8\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

求 -3 与 -8 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times \frac{3}{4}}$$

将 24 加上 1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times \frac{3}{4}}$$

取 25 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

-\frac{1}{2}\times 2 的相反数是 1。

$$x=\frac{1±5}{2\times \frac{3}{4}}$$

求 2 与 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} 的解。 将 5 加上 1。

$$x=\frac{6}{\frac{3}{2}}$$

6 除以 \frac{3}{2} 的计算方法是用 6 乘以 \frac{3}{2} 的倒数。

$$x=4$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{1±5}{\frac{3}{2}} 的解。 将 1 减去 5。

$$x=-\frac{4}{\frac{3}{2}}$$

-4 除以 \frac{3}{2} 的计算方法是用 -4 乘以 \frac{3}{2} 的倒数。

$$x=-\frac{8}{3}$$

x 有两个解: 4 和 -\frac{8}{3}。用 4 替换等式 y=\frac{1}{2}x+1 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=\frac{1}{2}\times 4+1$$

求 \frac{1}{2} 与 4 的乘积。

$$y=2+1$$

将 1 加上 \frac{1}{2}\times 4。

$$y=3$$

现在用 -\frac{8}{3} 替换等式 y=\frac{1}{2}x+1 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=\frac{1}{2}\left(-\frac{8}{3}\right)+1$$

\frac{1}{2} 乘以 -\frac{8}{3} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$y=-\frac{4}{3}+1$$

将 1 加上 -\frac{8}{3}\times \frac{1}{2}。

$$y=-\frac{1}{3}$$

系统现在已得到解决。

$$y=3,x=4\text{ or }y=-\frac{1}{3},x=-\frac{8}{3}$$