求解 {l}{x^2+y^2=R^2}{y=mx}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = R ^ { 2 } } \\ { y = m x } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=-\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

$$x=\frac{R}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{, }y=\frac{Rm}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 2 个公式。 将方程式两边同时减去 mx。

$$y-mx=0$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$y+\left(-m\right)x=0,x^{2}+y^{2}=R^{2}$$

通过在等号左侧隔离 y 来解决 y 的 y+\left(-m\right)x=0。

$$y+\left(-m\right)x=0$$

将等式的两边同时减去 \left(-m\right)x。

$$y=mx$$

用 mx 替换另一个方程式中 x^{2}+y^{2}=R^{2} 中的 y。

$$x^{2}+\left(mx\right)^{2}=R^{2}$$

对 mx 进行平方运算。

$$x^{2}+m^{2}x^{2}=R^{2}$$

将 m^{2}x^{2} 加上 x^{2}。

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}=R^{2}$$

将等式的两边同时减去 R^{2}。

$$\left(m^{2}+1\right)x^{2}-R^{2}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1m^{2} 替换 a，1\times 0\times 2m 替换 b，并用 -R^{2} 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

对 1\times 0\times 2m 进行平方运算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(m^{2}+1\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

求 -4 与 1+1m^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{\left(-4m^{2}-4\right)\left(-R^{2}\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

求 -4-4m^{2} 与 -R^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{4R^{2}\left(m^{2}+1\right)}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

取 4\left(1+m^{2}\right)R^{2} 的平方根。

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2\left(m^{2}+1\right)}$$

求 2 与 1+1m^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} 的解。

$$x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{0±2|R|\sqrt{m^{2}+1}}{2m^{2}+2} 的解。

$$x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

x 有两个解: \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} 和 -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}}。用 \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} 替换等式 y=mx 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=m\times \frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

求 m 与 \frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} 的乘积。

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m$$

现在用 -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} 替换等式 y=mx 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=m\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)$$

求 m 与 -\frac{|R|}{\sqrt{1+m^{2}}} 的乘积。

$$y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m$$

系统现在已得到解决。

$$y=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}m,x=\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\text{ or }y=\left(-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}\right)m,x=-\frac{|R|}{\sqrt{m^{2}+1}}$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{; }x=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}R\text{, }y=-\left(m^{2}+1\right)^{-\frac{1}{2}}Rm\text{, }&m\neq -i\text{ and }m\neq i\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=mx\text{, }&\left(m=i\text{ or }m=-i\right)\text{ and }R=0\end{matrix}\right.$$