求解 {l}{x^2+y^2=9}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693\text{, }y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693$$

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx -0.870828693\text{, }y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\approx 2.870828693$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x+y=2,y^{2}+x^{2}=9$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x+y=2。

$$x+y=2$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+2$$

用 -y+2 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=9 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+2\right)^{2}=9$$

对 -y+2 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}-4y+4=9$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}-4y+4=9$$

将等式的两边同时减去 9。

$$2y^{2}-4y-5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\times 2\left(-1\right)\times 2 替换 b，并用 -5 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

对 1\times 2\left(-1\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -5 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+40}}{2\times 2}$$

将 40 加上 16。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{56}}{2\times 2}$$

取 56 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

1\times 2\left(-1\right)\times 2 的相反数是 4。

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} 的解。 将 2\sqrt{14} 加上 4。

$$y=\frac{2\sqrt{14}+4}{4}$$

4+2\sqrt{14} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{4±2\sqrt{14}}{4} 的解。 将 4 减去 2\sqrt{14}。

$$y=\frac{4-2\sqrt{14}}{4}$$

4-2\sqrt{14} 除以 4。

$$y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$

y 有两个解: 1+\frac{\sqrt{14}}{2} 和 1-\frac{\sqrt{14}}{2}。用 1+\frac{\sqrt{14}}{2} 替换等式 x=-y+2 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

现在用 1-\frac{\sqrt{14}}{2} 替换等式 x=-y+2 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=\frac{\sqrt{14}}{2}+1\text{ or }x=-\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}+1\right)+2,y=-\frac{\sqrt{14}}{2}+1$$