求解 {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x+y=1。

$$x+y=1$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+1$$

用 -y+1 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=4 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

对 -y+1 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}-2y+1=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$2y^{2}-2y-3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\times 1\left(-1\right)\times 2 替换 b，并用 -3 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

对 1\times 1\left(-1\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -3 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

将 24 加上 4。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

取 28 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

1\times 1\left(-1\right)\times 2 的相反数是 2。

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} 的解。 将 2\sqrt{7} 加上 2。

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

2+2\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} 的解。 将 2 减去 2\sqrt{7}。

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

2-2\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

y 有两个解: \frac{1+\sqrt{7}}{2} 和 \frac{1-\sqrt{7}}{2}。用 \frac{1+\sqrt{7}}{2} 替换等式 x=-y+1 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

现在用 \frac{1-\sqrt{7}}{2} 替换等式 x=-y+1 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$