求解 {l}{x^2+y^2=1}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$x=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}\approx 1.5+1.322875656i\text{, }y=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}\approx 1.5-1.322875656i$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}\approx 1.5-1.322875656i\text{, }y=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}\approx 1.5+1.322875656i$$

运用代入法和二次公式的步骤

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x+y=3。

$$x+y=3$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+3$$

用 -y+3 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=1 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+3\right)^{2}=1$$

对 -y+3 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}-6y+9=1$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}-6y+9=1$$

将等式的两边同时减去 1。

$$2y^{2}-6y+8=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\times 3\left(-1\right)\times 2 替换 b，并用 8 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

对 1\times 3\left(-1\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8\times 8}}{2\times 2}$$

求 -8 与 8 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-64}}{2\times 2}$$

将 -64 加上 36。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-28}}{2\times 2}$$

取 -28 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

1\times 3\left(-1\right)\times 2 的相反数是 6。

$$y=\frac{6±2\sqrt{7}i}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{6±2\sqrt{7}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{6±2\sqrt{7}i}{4} 的解。 将 2i\sqrt{7} 加上 6。

$$y=\frac{6+2\sqrt{7}i}{4}$$

6+2i\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{6±2\sqrt{7}i}{4} 的解。 将 6 减去 2i\sqrt{7}。

$$y=\frac{-2\sqrt{7}i+6}{4}$$

6-2i\sqrt{7} 除以 4。

$$y=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$

y 有两个解: \frac{3+i\sqrt{7}}{2} 和 \frac{3-i\sqrt{7}}{2}。用 \frac{3+i\sqrt{7}}{2} 替换等式 x=-y+3 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{3+\sqrt{7}i}{2}+3$$

现在用 \frac{3-i\sqrt{7}}{2} 替换等式 x=-y+3 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}+3$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{3+\sqrt{7}i}{2}+3,y=\frac{3+\sqrt{7}i}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}+3,y=\frac{-\sqrt{7}i+3}{2}$$