求解 {l}{x=3y(-10)}{y=x/3(-10)}

$$\left. \begin{array} { l } { x = 3 y ( - 10 ) } \\ { y = \frac { x } { 3 } ( - 10 ) } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=0$$

$$y=0$$

运用代入法的步骤

考虑第 1 个公式。 将 3 与 -10 相乘，得到 -30。

$$x=-30y$$

用 -30y 替换另一个方程式中 10x+3y=0 中的 x。

$$10\left(-30\right)y+3y=0$$

求 10 与 -30y 的乘积。

$$-300y+3y=0$$

将 3y 加上 -300y。

$$-297y=0$$

两边同时除以 -297。

$$y=0$$

用 0 替换 x=-30y 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=0$$

系统现在已得到解决。

$$x=0,y=0$$

运用矩阵的步骤

考虑第 1 个公式。 将 3 与 -10 相乘，得到 -30。

$$x=-30y$$

将 30y 添加到两侧。

$$x+30y=0$$

考虑第 2 个公式。 将 \frac{x}{3}\left(-10\right) 化为简分数。

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

将 -1 与 10 相乘，得到 -10。

$$y=\frac{-10x}{3}$$

将方程式两边同时减去 \frac{-10x}{3}。

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

将方程式的两边同时乘以 3。

$$3y+10x=0$$

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&30\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-30\times 10}&-\frac{30}{3-30\times 10}\\-\frac{10}{3-30\times 10}&\frac{1}{3-30\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{99}&\frac{10}{99}\\\frac{10}{297}&-\frac{1}{297}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=0,y=0$$

运用消元法的步骤

考虑第 1 个公式。 将 3 与 -10 相乘，得到 -30。

$$x=-30y$$

将 30y 添加到两侧。

$$x+30y=0$$

考虑第 2 个公式。 将 \frac{x}{3}\left(-10\right) 化为简分数。

$$y=\frac{-x\times 10}{3}$$

将 -1 与 10 相乘，得到 -10。

$$y=\frac{-10x}{3}$$

将方程式两边同时减去 \frac{-10x}{3}。

$$y-\frac{-10x}{3}=0$$

将方程式的两边同时乘以 3。

$$3y+10x=0$$

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$x+30y=0,10x+3y=0$$

要让 x 和 10x 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 10，再将第二个等式两边的所有项乘以 1。

$$10x+10\times 30y=0,10x+3y=0$$

化简。

$$10x+300y=0,10x+3y=0$$

用 10x+300y=0 减去 10x+3y=0，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$10x-10x+300y-3y=0$$

将 -10x 加上 10x。 项 10x 和 -10x 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$300y-3y=0$$

将 -3y 加上 300y。

$$297y=0$$

两边同时除以 297。

$$y=0$$

用 0 替换 10x+3y=0 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$10x=0$$

两边同时除以 10。

$$x=0$$

系统现在已得到解决。

$$x=0,y=0$$