求解 {l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c}

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$ax+by=c$$

将等式的两边同时减去 by。

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

两边同时除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

求 \frac{1}{a} 与 -by+c 的乘积。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

用 \frac{-by+c}{a} 替换另一个方程式中 a^{2}x+b^{2}y=c 中的 x。

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

求 a^{2} 与 \frac{-by+c}{a} 的乘积。

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

将 b^{2}y 加上 -bay。

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

将等式的两边同时减去 ca。

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

两边同时除以 b\left(b-a\right)。

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

用 \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} 替换 x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

求 -\frac{b}{a} 与 \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} 的乘积。

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

将 -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a} 加上 \frac{c}{a}。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

运用消元法的步骤

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

要让 ax 和 a^{2}x 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 a^{2}，再将第二个等式两边的所有项乘以 a。

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

化简。

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

用 a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} 减去 a^{3}x+ab^{2}y=ac，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -a^{3}x 加上 a^{3}x。 项 a^{3}x 和 -a^{3}x 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -ab^{2}y 加上 a^{2}by。

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -ac 加上 a^{2}c。

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

两边同时除以 ab\left(a-b\right)。

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

用 \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} 替换 a^{2}x+b^{2}y=c 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

求 b^{2} 与 \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} 的乘积。

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

将等式的两边同时减去 \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b}。

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

两边同时除以 a^{2}。

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

求解 x, y 的值

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$ax+by=c$$

将等式的两边同时减去 by。

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

两边同时除以 a。

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

求 \frac{1}{a} 与 -by+c 的乘积。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

用 \frac{-by+c}{a} 替换另一个方程式中 a^{2}x+b^{2}y=c 中的 x。

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

求 a^{2} 与 \frac{-by+c}{a} 的乘积。

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

将 b^{2}y 加上 -bay。

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

将等式的两边同时减去 ca。

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

两边同时除以 b\left(-a+b\right)。

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

用 \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} 替换 x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

求 -\frac{b}{a} 与 \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} 的乘积。

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

将 -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a} 加上 \frac{c}{a}。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

运用消元法的步骤

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

要让 ax 和 a^{2}x 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 a^{2}，再将第二个等式两边的所有项乘以 a。

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

化简。

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

用 a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} 减去 a^{3}x+ab^{2}y=ac，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -a^{3}x 加上 a^{3}x。 项 a^{3}x 和 -a^{3}x 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -ab^{2}y 加上 a^{2}by。

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

将 -ac 加上 a^{2}c。

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

两边同时除以 ab\left(a-b\right)。

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

用 \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} 替换 a^{2}x+b^{2}y=c 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

求 b^{2} 与 \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} 的乘积。

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

将等式的两边同时减去 \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b}。

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

两边同时除以 a^{2}。

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$