求解 {l}{a^2+b^2=13}{a+b=4}

$$\left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 13 } \\ { a + b = 4 } \end{array} \right.$$

求解 a, b 的值

$$a=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883\text{, }b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117$$

$$a=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 0.41886117\text{, }b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\approx 3.58113883$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$a+b=4,b^{2}+a^{2}=13$$

通过在等号左侧隔离 a 来解决 a 的 a+b=4。

$$a+b=4$$

将等式的两边同时减去 b。

$$a=-b+4$$

用 -b+4 替换另一个方程式中 b^{2}+a^{2}=13 中的 a。

$$b^{2}+\left(-b+4\right)^{2}=13$$

对 -b+4 进行平方运算。

$$b^{2}+b^{2}-8b+16=13$$

将 b^{2} 加上 b^{2}。

$$2b^{2}-8b+16=13$$

将等式的两边同时减去 13。

$$2b^{2}-8b+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\times 4\left(-1\right)\times 2 替换 b，并用 3 替换 c。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

对 1\times 4\left(-1\right)\times 2 进行平方运算。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 3}}{2\times 2}$$

求 -8 与 3 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-24}}{2\times 2}$$

将 -24 加上 64。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{40}}{2\times 2}$$

取 40 的平方根。

$$b=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

1\times 4\left(-1\right)\times 2 的相反数是 8。

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} 的解。 将 2\sqrt{10} 加上 8。

$$b=\frac{2\sqrt{10}+8}{4}$$

8+2\sqrt{10} 除以 4。

$$b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

现在 ± 为减号时求公式 b=\frac{8±2\sqrt{10}}{4} 的解。 将 8 减去 2\sqrt{10}。

$$b=\frac{8-2\sqrt{10}}{4}$$

8-2\sqrt{10} 除以 4。

$$b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$

b 有两个解: 2+\frac{\sqrt{10}}{2} 和 2-\frac{\sqrt{10}}{2}。用 2+\frac{\sqrt{10}}{2} 替换等式 a=-b+4 中的 b，可求得同时满足两个方程式的 a 的相应解。

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

现在用 2-\frac{\sqrt{10}}{2} 替换等式 a=-b+4 中的 b，并求得可同时满足两个等式的 a 的相应解。

$$a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4$$

系统现在已得到解决。

$$a=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=\frac{\sqrt{10}}{2}+2\text{ or }a=-\left(-\frac{\sqrt{10}}{2}+2\right)+4,b=-\frac{\sqrt{10}}{2}+2$$