求解 {l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180}

求解 A, c 的值

测验

Simultaneous Equation

5 道与此类似的题目:

来自 Web 搜索的类似问题

https://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-determinant-of-3-3-3-1-2-1-2-0-6

https://socratic.org/questions/how-do-you-multiply-1-0-0-1-with-1-3-3-2-3-1-2-1

https://math.stackexchange.com/questions/887119/matrix-theory-orthogonal-matrix

共享

已复制到剪贴板

3A-13c=-255,31A-6c=-180

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

3A-13c=-255

选择其中一个方程式并对 A 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 A。

3A=13c-255

在等式两边同时加 13c。

A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)

两边同时除以 3。

A=\frac{13}{3}c-85

求 \frac{1}{3} 与 13c-255 的乘积。

31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180

用 \frac{13c}{3}-85 替换另一个方程式中 31A-6c=-180 中的 A。

\frac{403}{3}c-2635-6c=-180

求 31 与 \frac{13c}{3}-85 的乘积。

\frac{385}{3}c-2635=-180

将 -6c 加上 \frac{403c}{3}。

\frac{385}{3}c=2455

在等式两边同时加 2635。

c=\frac{1473}{77}

等式两边同时除以 \frac{385}{3}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85

用 \frac{1473}{77} 替换 A=\frac{13}{3}c-85 中的 c。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 A 的解。

A=\frac{6383}{77}-85

\frac{13}{3} 乘以 \frac{1473}{77} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

A=-\frac{162}{77}

将 \frac{6383}{77} 加上 -85。

A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}

系统现在已得到解决。

3A-13c=-255,31A-6c=-180

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

将方程式表示为矩阵形式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

用 \left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

将等号左边的矩阵相乘。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)

执行算术运算。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)

矩阵相乘。

\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)

执行算术运算。

A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}

提取矩阵元素 A 和 c。

3A-13c=-255,31A-6c=-180

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)

要让 3A 和 31A 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 31，再将第二个等式两边的所有项乘以 3。

93A-403c=-7905,93A-18c=-540

化简。

93A-93A-403c+18c=-7905+540