求解 {l}{1+1/2+1/3+1/4-1/5+frac{1}{6}}{+frac{1}{7}+frac{1}{8}+frac{1}{9}+frac{1}{10}+frac{1}{11}}{+frac{1}{12}+2}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } } \\ { + \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 9 } + \frac { 1 } { 10 } + \frac { 1 } { 11 } } \\ { + \frac { 1 } { 12 } + 2 } \end{array} \right.$$

求值

$$\frac{130373}{27720}\approx 4.703210678$$

求解步骤

将 1 转换为分数 \frac{2}{2}。

$$\frac{2}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{2}{2} 和 \frac{1}{2} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{2+1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

2 和 3 的最小公倍数是 6。将 \frac{3}{2} 和 \frac{1}{3} 转换为带分母 6 的分数。

$$\frac{9}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{9}{6} 和 \frac{2}{6} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{9+2}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

9 与 2 相加，得到 11。

$$\frac{11}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

6 和 4 的最小公倍数是 12。将 \frac{11}{6} 和 \frac{1}{4} 转换为带分母 12 的分数。

$$\frac{22}{12}+\frac{3}{12}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{22}{12} 和 \frac{3}{12} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{22+3}{12}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

22 与 3 相加，得到 25。

$$\frac{25}{12}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

12 和 5 的最小公倍数是 60。将 \frac{25}{12} 和 \frac{1}{5} 转换为带分母 60 的分数。

$$\frac{125}{60}-\frac{12}{60}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{125}{60} 和 \frac{12}{60} 具有相同的分母，可通过分子相减来求差。

$$\frac{125-12}{60}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

将 125 减去 12，得到 113。

$$\frac{113}{60}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

60 和 6 的最小公倍数是 60。将 \frac{113}{60} 和 \frac{1}{6} 转换为带分母 60 的分数。

$$\frac{113}{60}+\frac{10}{60}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{113}{60} 和 \frac{10}{60} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{113+10}{60}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

113 与 10 相加，得到 123。

$$\frac{123}{60}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{123}{60} 降低为最简分数。

$$\frac{41}{20}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

20 和 7 的最小公倍数是 140。将 \frac{41}{20} 和 \frac{1}{7} 转换为带分母 140 的分数。

$$\frac{287}{140}+\frac{20}{140}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{287}{140} 和 \frac{20}{140} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{287+20}{140}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

287 与 20 相加，得到 307。

$$\frac{307}{140}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

140 和 8 的最小公倍数是 280。将 \frac{307}{140} 和 \frac{1}{8} 转换为带分母 280 的分数。

$$\frac{614}{280}+\frac{35}{280}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{614}{280} 和 \frac{35}{280} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{614+35}{280}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

614 与 35 相加，得到 649。

$$\frac{649}{280}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

280 和 9 的最小公倍数是 2520。将 \frac{649}{280} 和 \frac{1}{9} 转换为带分母 2520 的分数。

$$\frac{5841}{2520}+\frac{280}{2520}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{5841}{2520} 和 \frac{280}{2520} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{5841+280}{2520}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

5841 与 280 相加，得到 6121。

$$\frac{6121}{2520}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

2520 和 10 的最小公倍数是 2520。将 \frac{6121}{2520} 和 \frac{1}{10} 转换为带分母 2520 的分数。

$$\frac{6121}{2520}+\frac{252}{2520}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{6121}{2520} 和 \frac{252}{2520} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{6121+252}{2520}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

6121 与 252 相加，得到 6373。

$$\frac{6373}{2520}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+2$$

2520 和 11 的最小公倍数是 27720。将 \frac{6373}{2520} 和 \frac{1}{11} 转换为带分母 27720 的分数。

$$\frac{70103}{27720}+\frac{2520}{27720}+\frac{1}{12}+2$$

由于 \frac{70103}{27720} 和 \frac{2520}{27720} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{70103+2520}{27720}+\frac{1}{12}+2$$

70103 与 2520 相加，得到 72623。

$$\frac{72623}{27720}+\frac{1}{12}+2$$

27720 和 12 的最小公倍数是 27720。将 \frac{72623}{27720} 和 \frac{1}{12} 转换为带分母 27720 的分数。

$$\frac{72623}{27720}+\frac{2310}{27720}+2$$

由于 \frac{72623}{27720} 和 \frac{2310}{27720} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{72623+2310}{27720}+2$$

72623 与 2310 相加，得到 74933。

$$\frac{74933}{27720}+2$$

将 2 转换为分数 \frac{55440}{27720}。

$$\frac{74933}{27720}+\frac{55440}{27720}$$

由于 \frac{74933}{27720} 和 \frac{55440}{27720} 具有相同的分母，可通过分子相加来求和。

$$\frac{74933+55440}{27720}$$

74933 与 55440 相加，得到 130373。

$$\frac{130373}{27720}$$

因式分解

$$\frac{17 \cdot 7669}{2 ^ {3} \cdot 3 ^ {2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} = 4\frac{19493}{27720} = 4.703210678210678$$