求解 {l}{(sqrt{2}-1)^2+(2sqrt{2}-1)^2}{+2sqrt{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { ( \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } \\ { + 2 \sqrt { 2 } } \end{array} \right.$$

求值

$$12-4\sqrt{2}\approx 6.343145751$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(\sqrt{2}-1\right)^{2}。

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2\sqrt{2}+1+\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$2-2\sqrt{2}+1+\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{2}$$

2 与 1 相加，得到 3。

$$3-2\sqrt{2}+\left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}+2\sqrt{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2\sqrt{2}-1\right)^{2}。

$$3-2\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}$$

\sqrt{2} 的平方是 2。

$$3-2\sqrt{2}+4\times 2-4\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}$$

将 4 与 2 相乘，得到 8。

$$3-2\sqrt{2}+8-4\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}$$

8 与 1 相加，得到 9。

$$3-2\sqrt{2}+9-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}$$

3 与 9 相加，得到 12。

$$12-2\sqrt{2}-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}$$

合并 -2\sqrt{2} 和 -4\sqrt{2}，得到 -6\sqrt{2}。

$$12-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}$$

合并 -6\sqrt{2} 和 2\sqrt{2}，得到 -4\sqrt{2}。

$$12-4\sqrt{2}$$