求解 {l}{x^2/a+y^2/b=1}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { a } + \frac { y ^ { 2 } } { b } = 1 } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&\left(a\geq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a>0\text{ and }b>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b\neq 0\text{ and }b<36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }b<0\text{ and }a>0\right)\text{ or }\left(a=-\frac{b}{4}+9\text{ and }b>0\text{ and }b\neq 36\right)\text{ or }\left(a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\leq -\frac{b}{4}+9\text{ and }a<0\text{ and }b>0\right)\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将公式两边同时乘以 ab 的最小公倍数 a,b。

$$bx^{2}+ay^{2}=ab$$

考虑第 2 个公式。 将方程式两边同时减去 2x。

$$y-2x=6$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$y-2x=6,bx^{2}+ay^{2}=ab$$

通过在等号左侧隔离 y 来解决 y 的 y-2x=6。

$$y-2x=6$$

将等式的两边同时减去 -2x。

$$y=2x+6$$

用 2x+6 替换另一个方程式中 bx^{2}+ay^{2}=ab 中的 y。

$$bx^{2}+a\left(2x+6\right)^{2}=ab$$

对 2x+6 进行平方运算。

$$bx^{2}+a\left(4x^{2}+24x+36\right)=ab$$

求 a 与 4x^{2}+24x+36 的乘积。

$$bx^{2}+4ax^{2}+24ax+36a=ab$$

将 4ax^{2} 加上 bx^{2}。

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a=ab$$

将等式的两边同时减去 ab。

$$\left(4a+b\right)x^{2}+24ax+36a-ab=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 b+a\times 2^{2} 替换 a，a\times 6\times 2\times 2 替换 b，并用 a\left(36-b\right) 替换 c。

$$x=\frac{-24a±\sqrt{\left(24a\right)^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

对 a\times 6\times 2\times 2 进行平方运算。

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4\left(4a+b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

求 -4 与 b+a\times 2^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}+\left(-16a-4b\right)a\left(36-b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

求 -4b-16a 与 a\left(36-b\right) 的乘积。

$$x=\frac{-24a±\sqrt{576a^{2}-4a\left(36-b\right)\left(4a+b\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

将 -4\left(b+4a\right)a\left(36-b\right) 加上 576a^{2}。

$$x=\frac{-24a±\sqrt{4ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

取 4ab\left(-36+4a+b\right) 的平方根。

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{2\left(4a+b\right)}$$

求 2 与 b+a\times 2^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} 的解。 将 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} 加上 -24a。

$$x=\frac{2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a+2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} 除以 2b+8a。

$$x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-24a±2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}}{8a+2b} 的解。 将 -24a 减去 2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}。

$$x=\frac{-2\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-24a}{8a+2b}$$

-24a-2\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)} 除以 2b+8a。

$$x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

x 有两个解: \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} 和 -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a}。用 \frac{-12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} 替换等式 y=2x+6 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6$$

现在用 -\frac{12a+\sqrt{ab\left(-36+4a+b\right)}}{b+4a} 替换等式 y=2x+6 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6$$

系统现在已得到解决。

$$y=2\times \frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}+6,x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{ or }y=2\left(-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\right)+6,x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(-\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{; }x=\frac{\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}-12a}{4a+b}\text{, }y=\frac{2\left(\sqrt{ab\left(4a+b-36\right)}+3b\right)}{4a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{4}\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=\frac{b-36}{24}\text{, }y=\frac{b+36}{12}\text{, }&a=-\frac{b}{4}\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$