求解 {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将公式两边同时乘以 36 的最小公倍数 9,4。

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 3x+4y=1。

$$3x+4y=1$$

将等式的两边同时减去 4y。

$$3x=-4y+1$$

两边同时除以 3。

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

用 -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 替换另一个方程式中 9y^{2}+4x^{2}=36 中的 x。

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

对 -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 进行平方运算。

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

求 4 与 \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9} 的乘积。

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

将 \frac{64}{9}y^{2} 加上 9y^{2}。

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

将等式的两边同时减去 36。

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} 替换 a，4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 替换 b，并用 -\frac{320}{9} 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

对 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

求 -4 与 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

-\frac{580}{9} 乘以 -\frac{320}{9} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

将 \frac{185600}{81} 加上 \frac{1024}{81}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

取 2304 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 的相反数是 \frac{32}{9}。

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

求 2 与 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} 的解。 将 48 加上 \frac{32}{9}。

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

\frac{464}{9} 除以 \frac{290}{9} 的计算方法是用 \frac{464}{9} 乘以 \frac{290}{9} 的倒数。

$$y=\frac{8}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} 的解。 将 \frac{32}{9} 减去 48。

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

-\frac{400}{9} 除以 \frac{290}{9} 的计算方法是用 -\frac{400}{9} 乘以 \frac{290}{9} 的倒数。

$$y=-\frac{40}{29}$$

y 有两个解: \frac{8}{5} 和 -\frac{40}{29}。用 \frac{8}{5} 替换等式 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘以 \frac{8}{5} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

将 \frac{1}{3} 加上 -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}。

$$x=-\frac{9}{5}$$

现在用 -\frac{40}{29} 替换等式 x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3} 乘以 -\frac{40}{29} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

将 \frac{1}{3} 加上 -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right)。

$$x=\frac{63}{29}$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$