求解 {l}{x^2/4+y^2=1}{y=frac{sqrt{2}}{4}x}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { y = \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } x } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx -1.632993162\text{, }y=-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx -0.577350269$$

$$x=\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 1.632993162\text{, }y=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0.577350269$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式的两边同时乘以 4。

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

考虑第 2 个公式。 将 \frac{\sqrt{2}}{4}x 化为简分数。

$$y=\frac{\sqrt{2}x}{4}$$

将方程式两边同时减去 \frac{\sqrt{2}x}{4}。

$$y-\frac{\sqrt{2}x}{4}=0$$

将方程式的两边同时乘以 4。

$$4y-\sqrt{2}x=0$$

重新排列各项的顺序。

$$-\sqrt{2}x+4y=0$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0,4y^{2}+x^{2}=4$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 \left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x+4y=0$$

将等式的两边同时减去 4y。

$$\left(-\sqrt{2}\right)x=-4y$$

两边同时除以 -\sqrt{2}。

$$x=2\sqrt{2}y$$

用 2\sqrt{2}y 替换另一个方程式中 4y^{2}+x^{2}=4 中的 x。

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}y\right)^{2}=4$$

对 2\sqrt{2}y 进行平方运算。

$$4y^{2}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2}=4$$

将 \left(2\sqrt{2}\right)^{2}y^{2} 加上 4y^{2}。

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)y^{2}-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} 替换 a，1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2} 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$y=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

对 1\times 0\times 2\times 2\sqrt{2} 进行平方运算。

$$y=\frac{0±\sqrt{-4\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

求 -4 与 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{0±\sqrt{-48\left(-4\right)}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

求 -48 与 -4 的乘积。

$$y=\frac{0±\sqrt{192}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

取 192 的平方根。

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{2\left(\left(2\sqrt{2}\right)^{2}+4\right)}$$

求 2 与 4+1\times \left(2\sqrt{2}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24} 的解。

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{0±8\sqrt{3}}{24} 的解。

$$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

y 有两个解: \frac{\sqrt{3}}{3} 和 -\frac{\sqrt{3}}{3}。用 \frac{\sqrt{3}}{3} 替换等式 x=2\sqrt{2}y 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3}$$

现在用 -\frac{\sqrt{3}}{3} 替换等式 x=2\sqrt{2}y 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$

系统现在已得到解决。

$$x=2\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{3},y=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ or }x=2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right),y=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$