求解 {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460} | Microsoft Math Solver

求解 A, B 的值

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\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

\frac{2}{3}A+B=400

选择其中一个方程式并对 A 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 A。

\frac{2}{3}A=-B+400

将等式的两边同时减去 B。

A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)

等式两边同时除以 \frac{2}{3}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

A=-\frac{3}{2}B+600

求 \frac{3}{2} 与 -B+400 的乘积。

-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460

用 -\frac{3B}{2}+600 替换另一个方程式中 A+\frac{4}{5}B=460 中的 A。

-\frac{7}{10}B+600=460

将 \frac{4B}{5} 加上 -\frac{3B}{2}。

-\frac{7}{10}B=-140

将等式的两边同时减去 600。

B=200

等式两边同时除以 -\frac{7}{10}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

A=-\frac{3}{2}\times 200+600

用 200 替换 A=-\frac{3}{2}B+600 中的 B。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 A 的解。

A=-300+600

求 -\frac{3}{2} 与 200 的乘积。

A=300

将 -300 加上 600。

A=300,B=200

系统现在已得到解决。

\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

将方程式表示为矩阵形式。

inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

用 \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

将等号左边的矩阵相乘。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)

执行算术运算。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)

矩阵相乘。

\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)

执行算术运算。

A=300,B=200

提取矩阵元素 A 和 B。

\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460

要让 \frac{2A}{3} 和 A 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 1，再将第二个等式两边的所有项乘以 \frac{2}{3}。

\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}

化简。

\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}