求解 {c}{8x+15y=289}{x^2+y^2=17^2}

$$\left. \begin{array} { c } { 8 x + 15 y = 289 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 17 ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=8$$

$$y=15$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$8x+15y=289,y^{2}+x^{2}=289$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 8x+15y=289。

$$8x+15y=289$$

将等式的两边同时减去 15y。

$$8x=-15y+289$$

两边同时除以 8。

$$x=-\frac{15}{8}y+\frac{289}{8}$$

用 -\frac{15}{8}y+\frac{289}{8} 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=289 中的 x。

$$y^{2}+\left(-\frac{15}{8}y+\frac{289}{8}\right)^{2}=289$$

对 -\frac{15}{8}y+\frac{289}{8} 进行平方运算。

$$y^{2}+\frac{225}{64}y^{2}-\frac{4335}{32}y+\frac{83521}{64}=289$$

将 \frac{225}{64}y^{2} 加上 y^{2}。

$$\frac{289}{64}y^{2}-\frac{4335}{32}y+\frac{83521}{64}=289$$

将等式的两边同时减去 289。

$$\frac{289}{64}y^{2}-\frac{4335}{32}y+\frac{65025}{64}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-\frac{15}{8}\right)^{2} 替换 a，1\times \frac{289}{8}\left(-\frac{15}{8}\right)\times 2 替换 b，并用 \frac{65025}{64} 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-\frac{4335}{32}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4335}{32}\right)^{2}-4\times \frac{289}{64}\times \frac{65025}{64}}}{2\times \frac{289}{64}}$$

对 1\times \frac{289}{8}\left(-\frac{15}{8}\right)\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-\frac{4335}{32}\right)±\sqrt{\frac{18792225}{1024}-4\times \frac{289}{64}\times \frac{65025}{64}}}{2\times \frac{289}{64}}$$

求 -4 与 1+1\left(-\frac{15}{8}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-\frac{4335}{32}\right)±\sqrt{\frac{18792225}{1024}-\frac{289}{16}\times \frac{65025}{64}}}{2\times \frac{289}{64}}$$

-\frac{289}{16} 乘以 \frac{65025}{64} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$y=\frac{-\left(-\frac{4335}{32}\right)±\sqrt{\frac{18792225-18792225}{1024}}}{2\times \frac{289}{64}}$$

将 -\frac{18792225}{1024} 加上 \frac{18792225}{1024}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y=\frac{-\left(-\frac{4335}{32}\right)±\sqrt{0}}{2\times \frac{289}{64}}$$

取 0 的平方根。

$$y=-\frac{-\frac{4335}{32}}{2\times \frac{289}{64}}$$

1\times \frac{289}{8}\left(-\frac{15}{8}\right)\times 2 的相反数是 \frac{4335}{32}。

$$y=\frac{\frac{4335}{32}}{2\times \frac{289}{64}}$$

求 2 与 1+1\left(-\frac{15}{8}\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{\frac{4335}{32}}{\frac{289}{32}}$$

\frac{4335}{32} 除以 \frac{289}{32} 的计算方法是用 \frac{4335}{32} 乘以 \frac{289}{32} 的倒数。

$$y=15$$

y 有两个解: 15 和 15。用 15 替换等式 x=-\frac{15}{8}y+\frac{289}{8} 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{15}{8}\times 15+\frac{289}{8}$$

求 -\frac{15}{8} 与 15 的乘积。

$$x=\frac{-225+289}{8}$$

将 \frac{289}{8} 加上 -\frac{15}{8}\times 15。

$$x=8$$

系统现在已得到解决。

$$x=8,y=15\text{ or }x=8,y=15$$