求解 {lll}{2}&{5}&{2}{3}&{2}&{1}{4}&{3}&{1}

$$\left( \begin{array} { l l l } { 2 } & { 5 } & { 2 } \\ { 3 } & { 2 } & { 1 } \\ { 4 } & { 3 } & { 1 } \end{array} \right)$$

计算行列式

$$5$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&5&2\\3&2&1\\4&3&1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}2&5&2&2&5\\3&2&1&3&2\\4&3&1&4&3\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2\times 2+5\times 4+2\times 3\times 3=42$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$4\times 2\times 2+3\times 2+3\times 5=37$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$42-37$$

将 42 减去 37。

$$5$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&5&2\\3&2&1\\4&3&1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$2det(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))-5det(\left(\begin{matrix}3&1\\4&1\end{matrix}\right))+2det(\left(\begin{matrix}3&2\\4&3\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$2\left(2-3\right)-5\left(3-4\right)+2\left(3\times 3-4\times 2\right)$$

化简。

$$2\left(-1\right)-5\left(-1\right)+2$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$5$$

求值

$$\left(\begin{matrix}2&5&2\\3&2&1\\4&3&1\end{matrix}\right)$$