求解 {lll}{1}&{1}&{1}{k}&{1}&{1}{1}&{k}&{1}

$$\left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { k } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { k } & { 1 } \end{array} \right)$$

计算行列式

$$\left(k-1\right)^{2}$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&1&1&1&1\\k&1&1&k&1\\1&k&1&1&k\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$1+1+kk=k^{2}+2$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$1+k+k=2k+1$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$k^{2}+2-\left(2k+1\right)$$

将 2+k^{2} 减去 1+2k。

$$\left(k-1\right)^{2}$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$det(\left(\begin{matrix}1&1\\k&1\end{matrix}\right))-det(\left(\begin{matrix}k&1\\1&1\end{matrix}\right))+det(\left(\begin{matrix}k&1\\1&k\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$1-k-\left(k-1\right)+kk-1$$

化简。

$$1-k-\left(k-1\right)+k^{2}-1$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$\left(k-1\right)^{2}$$

求值

$$\left(\begin{matrix}1&1&1\\k&1&1\\1&k&1\end{matrix}\right)$$