求解 {ccc}{2}&{-2}&{-5}{1}&{6}&{-3}{2}&{1}&{-1}

$$\left( \begin{array} { c c c } { 2 } & { - 2 } & { - 5 } \\ { 1 } & { 6 } & { - 3 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right)$$

计算行列式

$$59$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&-2&-5\\1&6&-3\\2&1&-1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}2&-2&-5&2&-2\\1&6&-3&1&6\\2&1&-1&2&1\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2\times 6\left(-1\right)-2\left(-3\right)\times 2-5=-5$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2\times 6\left(-5\right)-3\times 2-\left(-2\right)=-64$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$-5-\left(-64\right)$$

将 -5 减去 -64。

$$59$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&-2&-5\\1&6&-3\\2&1&-1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$2det(\left(\begin{matrix}6&-3\\1&-1\end{matrix}\right))-\left(-2det(\left(\begin{matrix}1&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\right)-5det(\left(\begin{matrix}1&6\\2&1\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$2\left(6\left(-1\right)-\left(-3\right)\right)-\left(-2\left(-1-2\left(-3\right)\right)\right)-5\left(1-2\times 6\right)$$

化简。

$$2\left(-3\right)-\left(-2\times 5\right)-5\left(-11\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$59$$

求值

$$\left(\begin{matrix}2&-2&-5\\1&6&-3\\2&1&-1\end{matrix}\right)$$