求解 {rrr}{4}&{-1}&{4}{2}&{1}&{8}{1}&{2}&{1}

$$\left| \begin{array} { r r r } { 4 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 1 } & { 8 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right|$$

求值

$$-54$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}4&-1&4\\2&1&8\\1&2&1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}4&-1&4&4&-1\\2&1&8&2&1\\1&2&1&1&2\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$4-8+4\times 2\times 2=12$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$4+2\times 8\times 4+2\left(-1\right)=66$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$12-66$$

将 12 减去 66。

$$-54$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}4&-1&4\\2&1&8\\1&2&1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$4det(\left(\begin{matrix}1&8\\2&1\end{matrix}\right))-\left(-det(\left(\begin{matrix}2&8\\1&1\end{matrix}\right))\right)+4det(\left(\begin{matrix}2&1\\1&2\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$4\left(1-2\times 8\right)-\left(-\left(2-8\right)\right)+4\left(2\times 2-1\right)$$

化简。

$$4\left(-15\right)-\left(-\left(-6\right)\right)+4\times 3$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$-54$$

因式分解

$$-54$$