求解 {rrr}{2}&{2}&{3}{-4}&{-6}&{0}{1}&{4}&{-6}

$$\left| \begin{array} { r r r } { 2 } & { 2 } & { 3 } \\ { - 4 } & { - 6 } & { 0 } \\ { 1 } & { 4 } & { - 6 } \end{array} \right|$$

求值

$$-6$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&2&3\\-4&-6&0\\1&4&-6\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}2&2&3&2&2\\-4&-6&0&-4&-6\\1&4&-6&1&4\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2\left(-6\right)\left(-6\right)+3\left(-4\right)\times 4=24$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$-6\times 3-6\left(-4\right)\times 2=30$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$24-30$$

将 24 减去 30。

$$-6$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}2&2&3\\-4&-6&0\\1&4&-6\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$2det(\left(\begin{matrix}-6&0\\4&-6\end{matrix}\right))-2det(\left(\begin{matrix}-4&0\\1&-6\end{matrix}\right))+3det(\left(\begin{matrix}-4&-6\\1&4\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$2\left(-6\right)\left(-6\right)-2\left(-4\right)\left(-6\right)+3\left(-4\times 4-\left(-6\right)\right)$$

化简。

$$2\times 36-2\times 24+3\left(-10\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$-6$$

因式分解

$$-6$$