求解 {lll}{3}&{7}&{2}{4}&{7}&{2}{6}&{3}&{9}

$$\left| \begin{array} { l l l } { 3 } & { 7 } & { 2 } \\ { 4 } & { 7 } & { 2 } \\ { 6 } & { 3 } & { 9 } \end{array} \right|$$

求值

$$-57$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&7&2\\4&7&2\\6&3&9\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}3&7&2&3&7\\4&7&2&4&7\\6&3&9&6&3\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$3\times 7\times 9+7\times 2\times 6+2\times 4\times 3=297$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$6\times 7\times 2+3\times 2\times 3+9\times 4\times 7=354$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$297-354$$

将 297 减去 354。

$$-57$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&7&2\\4&7&2\\6&3&9\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$3det(\left(\begin{matrix}7&2\\3&9\end{matrix}\right))-7det(\left(\begin{matrix}4&2\\6&9\end{matrix}\right))+2det(\left(\begin{matrix}4&7\\6&3\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$3\left(7\times 9-3\times 2\right)-7\left(4\times 9-6\times 2\right)+2\left(4\times 3-6\times 7\right)$$

化简。

$$3\times 57-7\times 24+2\left(-30\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$-57$$

因式分解

$$-57$$