求解 {ccc}{i}&{j}&{k}{1}&{1}&{1}{-2}&{-1}&{1}

$$\left| \begin{array} { c c c } { i } & { j } & { k } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 2 } & { - 1 } & { 1 } \end{array} \right|$$

求值

$$2i+k-3j$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&1&1\\-2&-1&1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}i&j&k&i&j\\1&1&1&1&1\\-2&-1&1&-2&-1\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$i+j\left(-2\right)+k\left(-1\right)=i-k-2j$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$-2k-i+j=j-2k-i$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$i-k-2j-\left(j-2k-i\right)$$

将 i-2j-k 减去 -2k-i+j。

$$2i+k-3j$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}i&j&k\\1&1&1\\-2&-1&1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$idet(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))-jdet(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))+kdet(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-1\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$i\left(1-\left(-1\right)\right)-j\left(1-\left(-2\right)\right)+k\left(-1-\left(-2\right)\right)$$

化简。

$$2i-j\times 3+k$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$2i+k-3j$$