求解 {ccc}{5}&{4}&{1}{1}&{2}&{3}{2}&{4}&{1}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 5 } & { 4 } & { 1 } \\ { 1 } & { 2 } & { 3 } \\ { 2 } & { 4 } & { 1 } \end{array} \right|$$

求值

$$-30$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}5&4&1\\1&2&3\\2&4&1\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}5&4&1&5&4\\1&2&3&1&2\\2&4&1&2&4\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$5\times 2+4\times 3\times 2+4=38$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2\times 2+4\times 3\times 5+4=68$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$38-68$$

将 38 减去 68。

$$-30$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}5&4&1\\1&2&3\\2&4&1\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$5det(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))-4det(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))+det(\left(\begin{matrix}1&2\\2&4\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$5\left(2-4\times 3\right)-4\left(1-2\times 3\right)+4-2\times 2$$

化简。

$$5\left(-10\right)-4\left(-5\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$-30$$

因式分解

$$-30$$