求解 {ccc}{4}&{4}&{2}{-5}&{3}&{-2}{10}&{-2}&{-3}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 4 } & { 4 } & { 2 } \\ { - 5 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 10 } & { - 2 } & { - 3 } \end{array} \right|$$

求值

$$-232$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}4&4&2\\-5&3&-2\\10&-2&-3\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}4&4&2&4&4\\-5&3&-2&-5&3\\10&-2&-3&10&-2\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$4\times 3\left(-3\right)+4\left(-2\right)\times 10+2\left(-5\right)\left(-2\right)=-96$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$10\times 3\times 2-2\left(-2\right)\times 4-3\left(-5\right)\times 4=136$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$-96-136$$

将 -96 减去 136。

$$-232$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}4&4&2\\-5&3&-2\\10&-2&-3\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$4det(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&-3\end{matrix}\right))-4det(\left(\begin{matrix}-5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))+2det(\left(\begin{matrix}-5&3\\10&-2\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$4\left(3\left(-3\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)\right)-4\left(-5\left(-3\right)-10\left(-2\right)\right)+2\left(-5\left(-2\right)-10\times 3\right)$$

化简。

$$4\left(-13\right)-4\times 35+2\left(-20\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$-232$$

因式分解

$$-232$$