求解 {ccc}{3}&{-1}&{4}{2}&{3}&{-1}{-5}&{2}&{3}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 3 } & { - 1 } & { 4 } \\ { 2 } & { 3 } & { - 1 } \\ { - 5 } & { 2 } & { 3 } \end{array} \right|$$

求值

$$110$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&-1&4\\2&3&-1\\-5&2&3\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}3&-1&4&3&-1\\2&3&-1&2&3\\-5&2&3&-5&2\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$3\times 3\times 3-\left(-\left(-5\right)\right)+4\times 2\times 2=38$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$-5\times 3\times 4+2\left(-1\right)\times 3+3\times 2\left(-1\right)=-72$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$38-\left(-72\right)$$

将 38 减去 -72。

$$110$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&-1&4\\2&3&-1\\-5&2&3\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$3det(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&3\end{matrix}\right))-\left(-det(\left(\begin{matrix}2&-1\\-5&3\end{matrix}\right))\right)+4det(\left(\begin{matrix}2&3\\-5&2\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$3\left(3\times 3-2\left(-1\right)\right)-\left(-\left(2\times 3-\left(-5\left(-1\right)\right)\right)\right)+4\left(2\times 2-\left(-5\times 3\right)\right)$$

化简。

$$3\times 11-\left(-1\right)+4\times 19$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$110$$

因式分解

$$2\times 5\times 11$$