求解 {ccc}{3}&{-1}&{-1}{4}&{3}&{-2}{5}&{-2}&{3}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 3 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 4 } & { 3 } & { - 2 } \\ { 5 } & { - 2 } & { 3 } \end{array} \right|$$

求值

$$60$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&-1&-1\\4&3&-2\\5&-2&3\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}3&-1&-1&3&-1\\4&3&-2&4&3\\5&-2&3&5&-2\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$3\times 3\times 3-\left(-2\times 5\right)-4\left(-2\right)=45$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$5\times 3\left(-1\right)-2\left(-2\right)\times 3+3\times 4\left(-1\right)=-15$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$45-\left(-15\right)$$

将 45 减去 -15。

$$60$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}3&-1&-1\\4&3&-2\\5&-2&3\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$3det(\left(\begin{matrix}3&-2\\-2&3\end{matrix}\right))-\left(-det(\left(\begin{matrix}4&-2\\5&3\end{matrix}\right))\right)-det(\left(\begin{matrix}4&3\\5&-2\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$3\left(3\times 3-\left(-2\left(-2\right)\right)\right)-\left(-\left(4\times 3-5\left(-2\right)\right)\right)-\left(4\left(-2\right)-5\times 3\right)$$

化简。

$$3\times 5-\left(-22\right)-\left(-23\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$60$$

因式分解

$$2^{2}\times 3\times 5$$