求解 {ccc}{0}&{2}&{0}{z}&{3i}&{i}{-i}&{0}&{1+i}

$$\left| \begin{array} { c c c } { 0 } & { 2 } & { 0 } \\ { z } & { 3 i } & { i } \\ { - i } & { 0 } & { 1 + i } \end{array} \right|$$

求值

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

运用萨鲁斯法则的步骤

使用对角线法则求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

通过复制前两列作为第四列和第五列来扩展初始矩阵。

$$\left(\begin{matrix}0&2&0&0&2\\z&3i&i&z&3i\\-i&0&1+i&-i&0\end{matrix}\right)$$

从最左上方的项开始，延对角线向下进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$2i\left(-i\right)=2$$

从最左下方的项开始，延对角线向上进行乘法运算，然后将所得的乘积相加。

$$\left(1+i\right)z\times 2=\left(2+2i\right)z$$

用向下对角线乘积之和减去向上对角线乘积之和。

$$2-\left(2+2i\right)z$$

将 2 减去 \left(2+2i\right)z。

$$\left(-2-2i\right)z+2$$

运用余子式展开法的步骤

使用因式分解(也称为余因子展开)求矩阵的行列式。

$$det(\left(\begin{matrix}0&2&0\\z&3i&i\\-i&0&1+i\end{matrix}\right))$$

要按余子式展开，将第一行的每个元素与其余子式相乘，也即 2\times 2 矩阵的行列式，该矩阵即为消除该元素所在的行和列之后所得的矩阵，然后再乘以该元素的符号。

$$-2det(\left(\begin{matrix}z&i\\-i&1+i\end{matrix}\right))$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，行列式为 ad-bc。

$$-2\left(z\left(1+i\right)-\left(-ii\right)\right)$$

化简。

$$-2\left(\left(1+i\right)z-1\right)$$

将所有项相加，得到最终结果。

$$\left(-2-2i\right)z+2$$