求解 {l}{y=3x}{x^2+y^2=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

求解 y, x 的值

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}\approx -0.948683298\text{, }y=-\frac{9\sqrt{10}}{10}\approx -2.846049894$$

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{10}\approx 0.948683298\text{, }y=\frac{9\sqrt{10}}{10}\approx 2.846049894$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式两边同时减去 3x。

$$y-3x=0$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$y-3x=0,x^{2}+y^{2}=9$$

通过在等号左侧隔离 y 来解决 y 的 y-3x=0。

$$y-3x=0$$

将等式的两边同时减去 -3x。

$$y=3x$$

用 3x 替换另一个方程式中 x^{2}+y^{2}=9 中的 y。

$$x^{2}+\left(3x\right)^{2}=9$$

对 3x 进行平方运算。

$$x^{2}+9x^{2}=9$$

将 9x^{2} 加上 x^{2}。

$$10x^{2}=9$$

将等式的两边同时减去 9。

$$10x^{2}-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\times 3^{2} 替换 a，1\times 0\times 2\times 3 替换 b，并用 -9 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 10\left(-9\right)}}{2\times 10}$$

对 1\times 0\times 2\times 3 进行平方运算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\times 10\left(-9\right)}}{2\times 10}$$

求 -4 与 1+1\times 3^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{-40\left(-9\right)}}{2\times 10}$$

求 -40 与 -9 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{360}}{2\times 10}$$

取 360 的平方根。

$$x=\frac{0±6\sqrt{10}}{2\times 10}$$

求 2 与 1+1\times 3^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±6\sqrt{10}}{20}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{0±6\sqrt{10}}{20} 的解。

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{0±6\sqrt{10}}{20} 的解。

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

x 有两个解: \frac{3\sqrt{10}}{10} 和 -\frac{3\sqrt{10}}{10}。用 \frac{3\sqrt{10}}{10} 替换等式 y=3x 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=3\times \frac{3\sqrt{10}}{10}$$

现在用 -\frac{3\sqrt{10}}{10} 替换等式 y=3x 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=3\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)$$

系统现在已得到解决。

$$y=3\times \frac{3\sqrt{10}}{10},x=\frac{3\sqrt{10}}{10}\text{ or }y=3\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right),x=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$$