求解 {l}{y=3x+8}{x^2+y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x + 8 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

求解 y, x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}\approx -2.4-0.489897949i\text{, }y=\frac{-3\sqrt{6}i+4}{5}\approx 0.8-1.469693846i$$

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\approx -2.4+0.489897949i\text{, }y=\frac{4+3\sqrt{6}i}{5}\approx 0.8+1.469693846i$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式两边同时减去 3x。

$$y-3x=8$$

将等式的两边同时减去 -3x。

$$y=3x+8$$

用 3x+8 替换另一个方程式中 x^{2}+y^{2}=4 中的 y。

$$x^{2}+\left(3x+8\right)^{2}=4$$

对 3x+8 进行平方运算。

$$x^{2}+9x^{2}+48x+64=4$$

将 9x^{2} 加上 x^{2}。

$$10x^{2}+48x+64=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$10x^{2}+48x+60=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\times 3^{2} 替换 a，1\times 8\times 2\times 3 替换 b，并用 60 替换 c。

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

对 1\times 8\times 2\times 3 进行平方运算。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

求 -4 与 1+1\times 3^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-40\times 60}}{2\times 10}$$

求 -40 与 60 的乘积。

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2400}}{2\times 10}$$

将 -2400 加上 2304。

$$x=\frac{-48±\sqrt{-96}}{2\times 10}$$

取 -96 的平方根。

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{2\times 10}$$

求 2 与 1+1\times 3^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} 的解。 将 4i\sqrt{6} 加上 -48。

$$x=\frac{-48+4\sqrt{6}i}{20}$$

-48+4i\sqrt{6} 除以 20。

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} 的解。 将 -48 减去 4i\sqrt{6}。

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i-48}{20}$$

-48-4i\sqrt{6} 除以 20。

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$

x 有两个解: \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} 和 \frac{-12-i\sqrt{6}}{5}。用 \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} 替换等式 y=3x+8 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8$$

现在用 \frac{-12-i\sqrt{6}}{5} 替换等式 y=3x+8 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8$$

系统现在已得到解决。

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8,x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\text{ or }y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8,x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$