求解 {l}{y=2x}{x^2+y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

求解 y, x 的值

$$x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx -0.894427191\text{, }y=-\frac{4\sqrt{5}}{5}\approx -1.788854382$$

$$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0.894427191\text{, }y=\frac{4\sqrt{5}}{5}\approx 1.788854382$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式两边同时减去 2x。

$$y-2x=0$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$y-2x=0,x^{2}+y^{2}=4$$

通过在等号左侧隔离 y 来解决 y 的 y-2x=0。

$$y-2x=0$$

将等式的两边同时减去 -2x。

$$y=2x$$

用 2x 替换另一个方程式中 x^{2}+y^{2}=4 中的 y。

$$x^{2}+\left(2x\right)^{2}=4$$

对 2x 进行平方运算。

$$x^{2}+4x^{2}=4$$

将 4x^{2} 加上 x^{2}。

$$5x^{2}=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$5x^{2}-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\times 2^{2} 替换 a，1\times 0\times 2\times 2 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

对 1\times 0\times 2\times 2 进行平方运算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

求 -4 与 1+1\times 2^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

求 -20 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{80}}{2\times 5}$$

取 80 的平方根。

$$x=\frac{0±4\sqrt{5}}{2\times 5}$$

求 2 与 1+1\times 2^{2} 的乘积。

$$x=\frac{0±4\sqrt{5}}{10}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{0±4\sqrt{5}}{10} 的解。

$$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{0±4\sqrt{5}}{10} 的解。

$$x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

x 有两个解: \frac{2\sqrt{5}}{5} 和 -\frac{2\sqrt{5}}{5}。用 \frac{2\sqrt{5}}{5} 替换等式 y=2x 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=2\times \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

现在用 -\frac{2\sqrt{5}}{5} 替换等式 y=2x 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=2\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$$

系统现在已得到解决。

$$y=2\times \frac{2\sqrt{5}}{5},x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\text{ or }y=2\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right),x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$