求解 {l}{x-y=1/4}{3x^2-6=y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = \frac { 1 } { 4 } } \\ { 3 x ^ { 2 } - 6 = y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{-\sqrt{195}-1}{8}\approx -1.870530005\text{, }y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}\approx -2.120530005$$

$$x=\frac{\sqrt{195}-1}{8}\approx 1.620530005\text{, }y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\approx 1.370530005$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 2 个公式。 将方程式两边同时减去 y^{2}。

$$3x^{2}-6-y^{2}=0$$

将 6 添加到两侧。 任何数与零相加其值不变。

$$3x^{2}-y^{2}=6$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x-y=\frac{1}{4},-y^{2}+3x^{2}=6$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x-y=\frac{1}{4}。

$$x-y=\frac{1}{4}$$

将等式的两边同时减去 -y。

$$x=y+\frac{1}{4}$$

用 y+\frac{1}{4} 替换另一个方程式中 -y^{2}+3x^{2}=6 中的 x。

$$-y^{2}+3\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=6$$

对 y+\frac{1}{4} 进行平方运算。

$$-y^{2}+3\left(y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}\right)=6$$

求 3 与 y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16} 的乘积。

$$-y^{2}+3y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

将 3y^{2} 加上 -y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y+\frac{3}{16}=6$$

将等式的两边同时减去 6。

$$2y^{2}+\frac{3}{2}y-\frac{93}{16}=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1+3\times 1^{2} 替换 a，3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 替换 b，并用 -\frac{93}{16} 替换 c。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

对 3\times \frac{1}{4}\times 1\times 2 进行平方运算。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-4\times 2\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 -1+3\times 1^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}-8\left(-\frac{93}{16}\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -\frac{93}{16} 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{93}{2}}}{2\times 2}$$

将 \frac{93}{2} 加上 \frac{9}{4}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\sqrt{\frac{195}{4}}}{2\times 2}$$

取 \frac{195}{4} 的平方根。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{2\times 2}$$

求 2 与 -1+3\times 1^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} 的解。 将 \frac{\sqrt{195}}{2} 加上 -\frac{3}{2}。

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3+\sqrt{195}}{2} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{195}}{2}}{4} 的解。 将 -\frac{3}{2} 减去 \frac{\sqrt{195}}{2}。

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{2\times 4}$$

\frac{-3-\sqrt{195}}{2} 除以 4。

$$y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$

y 有两个解: \frac{-3+\sqrt{195}}{8} 和 \frac{-3-\sqrt{195}}{8}。用 \frac{-3+\sqrt{195}}{8} 替换等式 x=y+\frac{1}{4} 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

现在用 \frac{-3-\sqrt{195}}{8} 替换等式 x=y+\frac{1}{4} 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{\sqrt{195}-3}{8}\text{ or }x=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}+\frac{1}{4},y=\frac{-\sqrt{195}-3}{8}$$