求解 {l}{x-2(3y-1)=-4}{2/3y-(-x-7)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 ( 3 y - 1 ) = - 4 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y - ( - x - 7 ) = 1 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-6$$

$$y=0$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

求 -2 与 3y-1 的乘积。

$$x-6y+2=-4$$

将等式的两边同时减去 2。

$$x-6y=-6$$

在等式两边同时加 6y。

$$x=6y-6$$

用 -6+6y 替换另一个方程式中 -\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1 中的 x。

$$-\left(-\left(6y-6\right)-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

求 -1 与 -6+6y 的乘积。

$$-\left(-6y+6-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

将 -7 加上 6。

$$-\left(-6y-1\right)+\frac{2}{3}y=1$$

求 -1 与 -6y-1 的乘积。

$$6y+1+\frac{2}{3}y=1$$

将 \frac{2y}{3} 加上 6y。

$$\frac{20}{3}y+1=1$$

将等式的两边同时减去 1。

$$\frac{20}{3}y=0$$

等式两边同时除以 \frac{20}{3}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$y=0$$

用 0 替换 x=6y-6 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=-6$$

系统现在已得到解决。

$$x=-6,y=0$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4,-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$x-2\left(3y-1\right)=-4$$

求 -2 与 3y-1 的乘积。

$$x-6y+2=-4$$

将等式的两边同时减去 2。

$$x-6y=-6$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$-\left(-x-7\right)+\frac{2}{3}y=1$$

求 -1 与 -x-7 的乘积。

$$x+7+\frac{2}{3}y=1$$

将等式的两边同时减去 7。

$$x+\frac{2}{3}y=-6$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-6\\1&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{9}{10}\\-\frac{3}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-6\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{9}{10}\left(-6\right)\\-\frac{3}{20}\left(-6\right)+\frac{3}{20}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=-6,y=0$$