求解 {l}{x^2+y^2=16}{x+y=sqrt{26}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 16 } \\ { x + y = \sqrt { 26 } } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628\text{, }y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885$$

$$x=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}\approx 1.324764885\text{, }y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\approx 3.774254628$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x+y=\sqrt{26},y^{2}+x^{2}=16$$

通过在等号左侧隔离 x 来解决 x 的 x+y=\sqrt{26}。

$$x+y=\sqrt{26}$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+\sqrt{26}$$

用 -y+\sqrt{26} 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=16 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

对 -y+\sqrt{26} 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}=16$$

将等式的两边同时减去 16。

$$2y^{2}+\left(-2\sqrt{26}\right)y+\left(\sqrt{26}\right)^{2}-16=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} 替换 b，并用 10 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{26}\right)^{2}-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

对 1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-4\times 2\times 10}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-8\times 10}}{2\times 2}$$

求 -8 与 10 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{104-80}}{2\times 2}$$

将 -80 加上 104。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±\sqrt{24}}{2\times 2}$$

取 24 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-2\sqrt{26}\right)±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

1\left(-1\right)\times 2\sqrt{26} 的相反数是 2\sqrt{26}。

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} 的解。 将 2\sqrt{6} 加上 2\sqrt{26}。

$$y=\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{26}}{4}$$

2\sqrt{26}+2\sqrt{6} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{2\sqrt{26}±2\sqrt{6}}{4} 的解。 将 2\sqrt{26} 减去 2\sqrt{6}。

$$y=\frac{2\sqrt{26}-2\sqrt{6}}{4}$$

2\sqrt{26}-2\sqrt{6} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$

y 有两个解: \frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} 和 \frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}。用 \frac{\sqrt{26}+\sqrt{6}}{2} 替换等式 x=-y+\sqrt{26} 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26}$$

现在用 \frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2} 替换等式 x=-y+\sqrt{26} 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26}$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{26}}{2}\text{ or }x=-\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}+\sqrt{26},y=\frac{\sqrt{26}-\sqrt{6}}{2}$$