求解 {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式两边同时减去 x。

$$ty+2-x=0$$

将方程式两边同时减去 2。 零减去任何数都等于该数的相反数。

$$ty-x=-2$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

通过隔离等号左边 y, 来解决 y 的 ty-x=-2。

$$ty-x=-2$$

将等式的两边同时减去 -x。

$$ty=x-2$$

两边同时除以 t。

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

用 \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} 替换另一个方程式中 x^{2}+4y^{2}=4 中的 y。

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

对 \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} 进行平方运算。

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

求 4 与 \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} 的乘积。

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

将 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} 加上 x^{2}。

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

将等式的两边同时减去 4。

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} 替换 a，4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) 替换 b，并用 \frac{16}{t^{2}}-4 替换 c。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

对 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) 进行平方运算。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

求 -4 与 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} 的乘积。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

求 -4-\frac{16}{t^{2}} 与 \frac{16}{t^{2}}-4 的乘积。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

将 -\frac{256}{t^{4}}+16 加上 \frac{256}{t^{4}}。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

取 16 的平方根。

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

求 2 与 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} 的乘积。

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} 的解。 将 4 加上 \frac{16}{t^{2}}。

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}} 除以 2+\frac{8}{t^{2}}。

$$x=2$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} 的解。 将 \frac{16}{t^{2}} 减去 4。

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4 除以 2+\frac{8}{t^{2}}。

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x 有两个解: 2 和 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}。用 2 替换等式 y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} 中的 x，可求得同时满足两个方程式的 y 的相应解。

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

求 \frac{1}{t} 与 2 的乘积。

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

现在用 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} 替换等式 y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} 中的 x，并求得可同时满足两个等式的 y 的相应解。

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

求 \frac{1}{t} 与 -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} 的乘积。

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

系统现在已得到解决。

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$