求解 {l}{n-m=2}{m^2+n^2=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { n - m = 2 } \\ { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

求解 n, m 的值

$$n=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808\text{, }m=-\left(\sqrt{3}+1\right)\approx -2.732050808$$

$$n=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808\text{, }m=\sqrt{3}-1\approx 0.732050808$$

运用代入法和二次公式的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$n-m=2,m^{2}+n^{2}=8$$

通过在等号左侧隔离 n 来解决 n 的 n-m=2。

$$n-m=2$$

将等式的两边同时减去 -m。

$$n=m+2$$

用 m+2 替换另一个方程式中 m^{2}+n^{2}=8 中的 n。

$$m^{2}+\left(m+2\right)^{2}=8$$

对 m+2 进行平方运算。

$$m^{2}+m^{2}+4m+4=8$$

将 m^{2} 加上 m^{2}。

$$2m^{2}+4m+4=8$$

将等式的两边同时减去 8。

$$2m^{2}+4m-4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\times 1^{2} 替换 a，1\times 2\times 1\times 2 替换 b，并用 -4 替换 c。

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

对 1\times 2\times 1\times 2 进行平方运算。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\times 1^{2} 的乘积。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 -4 的乘积。

$$m=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\times 2}$$

将 32 加上 16。

$$m=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\times 2}$$

取 48 的平方根。

$$m=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\times 1^{2} 的乘积。

$$m=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 m=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} 的解。 将 4\sqrt{3} 加上 -4。

$$m=\frac{4\sqrt{3}-4}{4}$$

-4+4\sqrt{3} 除以 4。

$$m=\sqrt{3}-1$$

现在 ± 为减号时求公式 m=\frac{-4±4\sqrt{3}}{4} 的解。 将 -4 减去 4\sqrt{3}。

$$m=\frac{-4\sqrt{3}-4}{4}$$

-4-4\sqrt{3} 除以 4。

$$m=-\sqrt{3}-1$$

m 有两个解: -1+\sqrt{3} 和 -1-\sqrt{3}。用 -1+\sqrt{3} 替换等式 n=m+2 中的 m，可求得同时满足两个方程式的 n 的相应解。

$$n=\sqrt{3}-1+2$$

将 2 加上 1\left(-1+\sqrt{3}\right)。

$$n=\sqrt{3}+1$$

现在用 -1-\sqrt{3} 替换等式 n=m+2 中的 m，并求得可同时满足两个等式的 n 的相应解。

$$n=-\sqrt{3}-1+2$$

将 2 加上 1\left(-1-\sqrt{3}\right)。

$$n=1-\sqrt{3}$$

系统现在已得到解决。

$$n=\sqrt{3}+1,m=\sqrt{3}-1\text{ or }n=1-\sqrt{3},m=-\sqrt{3}-1$$