求解 {l}{n^2=2m^2}{2=2m+n}

$$\left\{ \begin{array} { l } { n ^ { 2 } = 2 m ^ { 2 } } \\ { 2 = 2 m + n } \end{array} \right.$$

求解 n, m 的值

$$n=2\sqrt{2}-2\approx 0.828427125\text{, }m=2-\sqrt{2}\approx 0.585786438$$

$$n=-2\sqrt{2}-2\approx -4.828427125\text{, }m=\sqrt{2}+2\approx 3.414213562$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 将方程式两边同时减去 2m^{2}。

$$n^{2}-2m^{2}=0$$

考虑第 2 个公式。 移项以使所有变量项位于左边。

$$2m+n=2$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$2m+n=2,n^{2}-2m^{2}=0$$

通过在等号左侧隔离 m 来解决 m 的 2m+n=2。

$$2m+n=2$$

将等式的两边同时减去 n。

$$2m=-n+2$$

两边同时除以 2。

$$m=-\frac{1}{2}n+1$$

用 -\frac{1}{2}n+1 替换另一个方程式中 n^{2}-2m^{2}=0 中的 m。

$$n^{2}-2\left(-\frac{1}{2}n+1\right)^{2}=0$$

对 -\frac{1}{2}n+1 进行平方运算。

$$n^{2}-2\left(\frac{1}{4}n^{2}-n+1\right)=0$$

求 -2 与 \frac{1}{4}n^{2}-n+1 的乘积。

$$n^{2}-\frac{1}{2}n^{2}+2n-2=0$$

将 -\frac{1}{2}n^{2} 加上 n^{2}。

$$\frac{1}{2}n^{2}+2n-2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} 替换 a，-2\left(-\frac{1}{2}\right)\times 2 替换 b，并用 -2 替换 c。

$$n=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times \frac{1}{2}\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

对 -2\left(-\frac{1}{2}\right)\times 2 进行平方运算。

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-4\times \frac{1}{2}\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 -4 与 1-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$n=\frac{-2±\sqrt{4-2\left(-2\right)}}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 -2 与 -2 的乘积。

$$n=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

将 4 加上 4。

$$n=\frac{-2±\sqrt{8}}{2\times \frac{1}{2}}$$

取 8 的平方根。

$$n=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

求 2 与 1-2\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} 的乘积。

$$n=\frac{-2±2\sqrt{2}}{1}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{-2±2\sqrt{2}}{1} 的解。 将 2\sqrt{2} 加上 -2。

$$n=\frac{2\sqrt{2}-2}{1}$$

-2+2\sqrt{2} 除以 1。

$$n=2\sqrt{2}-2$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{-2±2\sqrt{2}}{1} 的解。 将 -2 减去 2\sqrt{2}。

$$n=\frac{-2\sqrt{2}-2}{1}$$

-2-2\sqrt{2} 除以 1。

$$n=-2\sqrt{2}-2$$

n 有两个解: -2+2\sqrt{2} 和 -2-2\sqrt{2}。用 -2+2\sqrt{2} 替换等式 m=-\frac{1}{2}n+1 中的 n，可求得同时满足两个方程式的 m 的相应解。

$$m=-\frac{1}{2}\left(2\sqrt{2}-2\right)+1$$

求 -\frac{1}{2} 与 -2+2\sqrt{2} 的乘积。

$$m=-\frac{2\sqrt{2}-2}{2}+1$$

现在用 -2-2\sqrt{2} 替换等式 m=-\frac{1}{2}n+1 中的 n，并求得可同时满足两个等式的 m 的相应解。

$$m=-\frac{1}{2}\left(-2\sqrt{2}-2\right)+1$$

求 -\frac{1}{2} 与 -2-2\sqrt{2} 的乘积。

$$m=-\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}+1$$

系统现在已得到解决。

$$m=-\frac{2\sqrt{2}-2}{2}+1,n=2\sqrt{2}-2\text{ or }m=-\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}+1,n=-2\sqrt{2}-2$$