求解 {l}{a^2+b^2=100}{a+b=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 100 } \\ { a + b = 20 } \end{array} \right.$$

求解 a, b 的值

$$a=10+5\sqrt{2}i\approx 10+7.071067812i\text{, }b=-5\sqrt{2}i+10\approx 10-7.071067812i$$

$$a=-5\sqrt{2}i+10\approx 10-7.071067812i\text{, }b=10+5\sqrt{2}i\approx 10+7.071067812i$$

运用代入法和二次公式的步骤

通过在等号左侧隔离 a 来解决 a 的 a+b=20。

$$a+b=20$$

将等式的两边同时减去 b。

$$a=-b+20$$

用 -b+20 替换另一个方程式中 b^{2}+a^{2}=100 中的 a。

$$b^{2}+\left(-b+20\right)^{2}=100$$

对 -b+20 进行平方运算。

$$b^{2}+b^{2}-40b+400=100$$

将 b^{2} 加上 b^{2}。

$$2b^{2}-40b+400=100$$

将等式的两边同时减去 100。

$$2b^{2}-40b+300=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\times 20\left(-1\right)\times 2 替换 b，并用 300 替换 c。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 2\times 300}}{2\times 2}$$

对 1\times 20\left(-1\right)\times 2 进行平方运算。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 2\times 300}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-8\times 300}}{2\times 2}$$

求 -8 与 300 的乘积。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-2400}}{2\times 2}$$

将 -2400 加上 1600。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-800}}{2\times 2}$$

取 -800 的平方根。

$$b=\frac{-\left(-40\right)±20\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

1\times 20\left(-1\right)\times 2 的相反数是 40。

$$b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 20i\sqrt{2} 加上 40。

$$b=\frac{40+20\sqrt{2}i}{4}$$

40+20i\sqrt{2} 除以 4。

$$b=10+5\sqrt{2}i$$

现在 ± 为减号时求公式 b=\frac{40±20\sqrt{2}i}{4} 的解。 将 40 减去 20i\sqrt{2}。

$$b=\frac{-20\sqrt{2}i+40}{4}$$

40-20i\sqrt{2} 除以 4。

$$b=-5\sqrt{2}i+10$$

b 有两个解: 10+5i\sqrt{2} 和 10-5i\sqrt{2}。用 10+5i\sqrt{2} 替换等式 a=-b+20 中的 b，可求得同时满足两个方程式的 a 的相应解。

$$a=-\left(10+5\sqrt{2}i\right)+20$$

现在用 10-5i\sqrt{2} 替换等式 a=-b+20 中的 b，并求得可同时满足两个等式的 a 的相应解。

$$a=-\left(-5\sqrt{2}i+10\right)+20$$

系统现在已得到解决。

$$a=-\left(10+5\sqrt{2}i\right)+20,b=10+5\sqrt{2}i\text{ or }a=-\left(-5\sqrt{2}i+10\right)+20,b=-5\sqrt{2}i+10$$