求解 {l}{a=x+y}{9=x^2+y^2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a = x + y } \\ { 9 = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 移项以使所有变量项位于左边。

$$x+y=a$$

考虑第 2 个公式。 移项以使所有变量项位于左边。

$$x^{2}+y^{2}=9$$

通过隔离等号左边 x, 来解决 x 的 x+y=a。

$$x+y=a$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+a$$

用 -y+a 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=9 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

对 -y+a 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

将等式的两边同时减去 9。

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\left(-1\right)\times 2a 替换 b，并用 a^{2}-9 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

对 1\left(-1\right)\times 2a 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 a^{2}-9 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

将 -8a^{2}+72 加上 4a^{2}。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

取 -4a^{2}+72 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} 的解。 将 2\sqrt{-a^{2}+18} 加上 2a。

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{-a^{2}+18} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} 的解。 将 2a 减去 2\sqrt{-a^{2}+18}。

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{-a^{2}+18} 除以 4。

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y 有两个解: \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 和 \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2}。用 \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 替换等式 x=-y+a 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

现在用 \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 替换等式 x=-y+a 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

求解 x, y 的值

$$x=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 3\sqrt{2}$$

运用代入法和二次公式的步骤

考虑第 1 个公式。 移项以使所有变量项位于左边。

$$x+y=a$$

考虑第 2 个公式。 移项以使所有变量项位于左边。

$$x^{2}+y^{2}=9$$

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=9$$

通过隔离等号左边 x, 来解决 x 的 x+y=a。

$$x+y=a$$

将等式的两边同时减去 y。

$$x=-y+a$$

用 -y+a 替换另一个方程式中 y^{2}+x^{2}=9 中的 x。

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=9$$

对 -y+a 进行平方运算。

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

将 y^{2} 加上 y^{2}。

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=9$$

将等式的两边同时减去 9。

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-9=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1+1\left(-1\right)^{2} 替换 a，1\left(-1\right)\times 2a 替换 b，并用 a^{2}-9 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

对 1\left(-1\right)\times 2a 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

求 -4 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-9\right)}}{2\times 2}$$

求 -8 与 a^{2}-9 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+72-8a^{2}}}{2\times 2}$$

将 -8a^{2}+72 加上 4a^{2}。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{72-4a^{2}}}{2\times 2}$$

取 -4a^{2}+72 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{18-a^{2}}}{2\times 2}$$

求 2 与 1+1\left(-1\right)^{2} 的乘积。

$$y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} 的解。 将 2\sqrt{-a^{2}+18} 加上 2a。

$$y=\frac{2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{-a^{2}+18} 除以 4。

$$y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{2a±2\sqrt{18-a^{2}}}{4} 的解。 将 2a 减去 2\sqrt{-a^{2}+18}。

$$y=\frac{-2\sqrt{18-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{-a^{2}+18} 除以 4。

$$y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$

y 有两个解: \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 和 \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2}。用 \frac{a+\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 替换等式 x=-y+a 中的 y，可求得同时满足两个方程式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

现在用 \frac{a-\sqrt{-a^{2}+18}}{2} 替换等式 x=-y+a 中的 y，并求得可同时满足两个等式的 x 的相应解。

$$x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a$$

系统现在已得到解决。

$$x=-\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{18-a^{2}}+a}{2}$$