求解 {l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-3$$

$$y=-4$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$3x-4y=7$$

在等式两边同时加 4y。

$$3x=4y+7$$

两边同时除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

求 \frac{1}{3} 与 4y+7 的乘积。

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

用 \frac{4y+7}{3} 替换另一个方程式中 \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4 中的 x。

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

将 3 加上 \frac{7}{3}。

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

求 \frac{1}{2} 与 \frac{16+4y}{3} 的乘积。

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

将 -y 加上 \frac{2y}{3}。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

将等式的两边同时减去 \frac{8}{3}。

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

将两边同时乘以 -3。

$$y=-4$$

用 -4 替换 x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

求 \frac{4}{3} 与 -4 的乘积。

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

将 -\frac{16}{3} 加上 \frac{7}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=-3$$

系统现在已得到解决。

$$x=-3,y=-4$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

求 \frac{1}{2} 与 x+3 的乘积。

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

将等式的两边同时减去 \frac{3}{2}。

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-4$$