\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( y - \frac { 2 } { 3 } ) - 4 ( x + 5 ) = 14 } \\ { 7 ( y - \frac { 2 } { 3 } ) + 2 ( x + 5 ) = 10 } \end{array} \right.
求解 y, x 的值
x=-7
y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667
图表
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3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14,7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10
要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。
3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14
选择其中一个方程式并对 y 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 y。
3y-2-4\left(x+5\right)=14
求 3 与 y-\frac{2}{3} 的乘积。
3y-2-4x-20=14
求 -4 与 x+5 的乘积。
3y-4x-22=14
将 -20 加上 -2。
3y-4x=36
在等式两边同时加 22。
3y=4x+36
在等式两边同时加 4x。
y=\frac{1}{3}\left(4x+36\right)
两边同时除以 3。
y=\frac{4}{3}x+12
求 \frac{1}{3} 与 36+4x 的乘积。
7\left(\frac{4}{3}x+12-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10
用 \frac{4x}{3}+12 替换另一个方程式中 7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10 中的 y。
7\left(\frac{4}{3}x+\frac{34}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10
将 -\frac{2}{3} 加上 12。
\frac{28}{3}x+\frac{238}{3}+2\left(x+5\right)=10
求 7 与 \frac{4x+34}{3} 的乘积。
\frac{28}{3}x+\frac{238}{3}+2x+10=10
求 2 与 x+5 的乘积。
\frac{34}{3}x+\frac{238}{3}+10=10
将 2x 加上 \frac{28x}{3}。
\frac{34}{3}x+\frac{268}{3}=10
将 10 加上 \frac{238}{3}。
\frac{34}{3}x=-\frac{238}{3}
将等式的两边同时减去 \frac{268}{3}。
x=-7
等式两边同时除以 \frac{34}{3}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。
y=\frac{4}{3}\left(-7\right)+12
用 -7 替换 y=\frac{4}{3}x+12 中的 x。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 y 的解。
y=-\frac{28}{3}+12
求 \frac{4}{3} 与 -7 的乘积。
y=\frac{8}{3}
将 -\frac{28}{3} 加上 12。
y=\frac{8}{3},x=-7
系统现在已得到解决。
3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14,7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10
将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。
3\left(y-\frac{2}{3}\right)-4\left(x+5\right)=14
将第一个等式化简为标准形式。
3y-2-4\left(x+5\right)=14
求 3 与 y-\frac{2}{3} 的乘积。
3y-2-4x-20=14
求 -4 与 x+5 的乘积。
3y-4x-22=14
将 -20 加上 -2。
3y-4x=36
在等式两边同时加 22。
7\left(y-\frac{2}{3}\right)+2\left(x+5\right)=10
将第二个等式化简为标准形式。
7y-\frac{14}{3}+2\left(x+5\right)=10
求 7 与 y-\frac{2}{3} 的乘积。
7y-\frac{14}{3}+2x+10=10
求 2 与 x+5 的乘积。
7y+2x+\frac{16}{3}=10
将 10 加上 -\frac{14}{3}。
7y+2x=\frac{14}{3}
将等式的两边同时减去 \frac{16}{3}。
\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
将方程式表示为矩阵形式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
用 \left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
将等号左边的矩阵相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\-\frac{7}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)
执行算术运算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\times 36+\frac{2}{17}\times \frac{14}{3}\\-\frac{7}{34}\times 36+\frac{3}{34}\times \frac{14}{3}\end{matrix}\right)
矩阵相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\-7\end{matrix}\right)
执行算术运算。
y=\frac{8}{3},x=-7
提取矩阵元素 y 和 x。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角学
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
线性方程
y = 3x + 4
算术
699 * 533
矩阵
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
联立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
积分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}