求解 {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-2$$

$$y=1$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

求 3 与 2x+1 的乘积。

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

求 -5 与 y-3 的乘积。

$$6x+3-5y+15=1$$

将 15 加上 3。

$$6x-5y+18=1$$

将等式的两边同时减去 18。

$$6x-5y=-17$$

在等式两边同时加 5y。

$$6x=5y-17$$

两边同时除以 6。

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

求 \frac{1}{6} 与 5y-17 的乘积。

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

用 \frac{5y-17}{6} 替换另一个方程式中 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3 中的 x。

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

求 -1 与 \frac{5y-17}{6} 的乘积。

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

将 1 加上 \frac{17}{6}。

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

求 5 与 \frac{-5y+23}{6} 的乘积。

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

求 -4 与 2y+1 的乘积。

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

将 -8y 加上 -\frac{25y}{6}。

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

将 -4 加上 \frac{115}{6}。

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

将等式的两边同时减去 \frac{91}{6}。

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

等式两边同时除以 -\frac{73}{6}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$y=1$$

用 1 替换 x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\frac{5-17}{6}$$

将 \frac{5}{6} 加上 -\frac{17}{6}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x=-2$$

系统现在已得到解决。

$$x=-2,y=1$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

求 3 与 2x+1 的乘积。

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

求 -5 与 y-3 的乘积。

$$6x+3-5y+15=1$$

将 15 加上 3。

$$6x-5y+18=1$$

将等式的两边同时减去 18。

$$6x-5y=-17$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

求 5 与 -x+1 的乘积。

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

求 -4 与 2y+1 的乘积。

$$-5x+5-8y-4=3$$

将 -4 加上 5。

$$-5x-8y+1=3$$

将等式的两边同时减去 1。

$$-5x-8y=2$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=-2,y=1$$