求解 {l}{2(x+2)-3(y-1)=13}{3(x+2)+5(y-1)=30.9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 2 ) - 3 ( y - 1 ) = 13 } \\ { 3 ( x + 2 ) + 5 ( y - 1 ) = 30.9 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=6.3$$

$$y=2.2$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

求 2 与 x+2 的乘积。

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

求 -3 与 y-1 的乘积。

$$2x+4-3y+3=13$$

将 3 加上 4。

$$2x-3y+7=13$$

将等式的两边同时减去 7。

$$2x-3y=6$$

在等式两边同时加 3y。

$$2x=3y+6$$

两边同时除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+6\right)$$

求 \frac{1}{2} 与 6+3y 的乘积。

$$x=\frac{3}{2}y+3$$

用 \frac{3y}{2}+3 替换另一个方程式中 3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9 中的 x。

$$3\left(\frac{3}{2}y+3+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

将 2 加上 3。

$$3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

求 3 与 \frac{3y}{2}+5 的乘积。

$$\frac{9}{2}y+15+5\left(y-1\right)=30.9$$

求 5 与 y-1 的乘积。

$$\frac{9}{2}y+15+5y-5=30.9$$

将 5y 加上 \frac{9y}{2}。

$$\frac{19}{2}y+15-5=30.9$$

将 -5 加上 15。

$$\frac{19}{2}y+10=30.9$$

将等式的两边同时减去 10。

$$\frac{19}{2}y=20.9$$

等式两边同时除以 \frac{19}{2}，这等同于等式两边同时乘以该分数的倒数。

$$y=\frac{11}{5}$$

用 \frac{11}{5} 替换 x=\frac{3}{2}y+3 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{11}{5}+3$$

\frac{3}{2} 乘以 \frac{11}{5} 的计算方法是，将两数分子与分子相乘得到分子，分母与分母相乘得到分母。如果可能，将所得分数化为最简分数。

$$x=\frac{33}{10}+3$$

将 \frac{33}{10} 加上 3。

$$x=\frac{63}{10}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13,3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=13$$

求 2 与 x+2 的乘积。

$$2x+4-3\left(y-1\right)=13$$

求 -3 与 y-1 的乘积。

$$2x+4-3y+3=13$$

将 3 加上 4。

$$2x-3y+7=13$$

将等式的两边同时减去 7。

$$2x-3y=6$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$3\left(x+2\right)+5\left(y-1\right)=30.9$$

求 3 与 x+2 的乘积。

$$3x+6+5\left(y-1\right)=30.9$$

求 5 与 y-1 的乘积。

$$3x+6+5y-5=30.9$$

将 -5 加上 6。

$$3x+5y+1=30.9$$

将等式的两边同时减去 1。

$$3x+5y=29.9$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\29.9\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 6+\frac{3}{19}\times 29.9\\-\frac{3}{19}\times 6+\frac{2}{19}\times 29.9\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{10}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=\frac{63}{10},y=\frac{11}{5}$$