求解 {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

求解 a, b 的值

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

选择其中一个方程式并对 a 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 a。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

求 -2 与 b-2013 的乘积。

$$a-2b+4026+2012=3$$

将 2012 加上 4026。

$$a-2b+6038=3$$

将等式的两边同时减去 6038。

$$a-2b=-6035$$

在等式两边同时加 2b。

$$a=2b-6035$$

用 2b-6035 替换另一个方程式中 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5 中的 a。

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

将 2012 加上 -6035。

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

求 3 与 2b-4023 的乘积。

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

求 4 与 b-2013 的乘积。

$$6b-12069+4b-8052=5$$

将 4b 加上 6b。

$$10b-12069-8052=5$$

将 -8052 加上 -12069。

$$10b-20121=5$$

在等式两边同时加 20121。

$$10b=20126$$

两边同时除以 10。

$$b=\frac{10063}{5}$$

用 \frac{10063}{5} 替换 a=2b-6035 中的 b。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 a 的解。

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

求 2 与 \frac{10063}{5} 的乘积。

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

将 \frac{20126}{5} 加上 -6035。

$$a=-\frac{10049}{5}$$

系统现在已得到解决。

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

求 -2 与 b-2013 的乘积。

$$a-2b+4026+2012=3$$

将 2012 加上 4026。

$$a-2b+6038=3$$

将等式的两边同时减去 6038。

$$a-2b=-6035$$

将第二个等式化简为标准形式。

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

求 3 与 a+2012 的乘积。

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

求 4 与 b-2013 的乘积。

$$3a+6036+4b-8052=5$$

将 -8052 加上 6036。

$$3a+4b-2016=5$$

在等式两边同时加 2016。

$$3a+4b=2021$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 a 和 b。

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$