求解 {l}{x+2/3-2(y-1)=0}{x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 3 } - 2 ( y - 1 ) = 0 } \\ { x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

求解 x, y 的值

$$x=-2$$

$$y=1$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0,x+y=-1$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0$$

求 \frac{1}{3} 与 x+2 的乘积。

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2\left(y-1\right)=0$$

求 -2 与 y-1 的乘积。

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2y+2=0$$

将 2 加上 \frac{2}{3}。

$$\frac{1}{3}x-2y+\frac{8}{3}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{8}{3}。

$$\frac{1}{3}x-2y=-\frac{8}{3}$$

在等式两边同时加 2y。

$$\frac{1}{3}x=2y-\frac{8}{3}$$

将两边同时乘以 3。

$$x=3\left(2y-\frac{8}{3}\right)$$

求 3 与 2y-\frac{8}{3} 的乘积。

$$x=6y-8$$

用 6y-8 替换另一个方程式中 x+y=-1 中的 x。

$$6y-8+y=-1$$

将 y 加上 6y。

$$7y-8=-1$$

在等式两边同时加 8。

$$7y=7$$

两边同时除以 7。

$$y=1$$

用 1 替换 x=6y-8 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=6-8$$

将 6 加上 -8。

$$x=-2$$

系统现在已得到解决。

$$x=-2,y=1$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0,x+y=-1$$

将第一个等式化简为标准形式。

$$\frac{1}{3}\left(x+2\right)-2\left(y-1\right)=0$$

求 \frac{1}{3} 与 x+2 的乘积。

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2\left(y-1\right)=0$$

求 -2 与 y-1 的乘积。

$$\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}-2y+2=0$$

将 2 加上 \frac{2}{3}。

$$\frac{1}{3}x-2y+\frac{8}{3}=0$$

将等式的两边同时减去 \frac{8}{3}。

$$\frac{1}{3}x-2y=-\frac{8}{3}$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，反向矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，因此矩阵公式可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{6}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{6}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\left(-\frac{8}{3}\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=-2,y=1$$