求解 lambda^3-27lambda^2+243lambda-729=0

$$\lambda ^ { 3 } - 27 \lambda ^ { 2 } + 243 \lambda - 729 = 0$$

求解 λ 的值

$$\lambda =9$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -729，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±729,±243,±81,±27,±9,±3,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$\lambda =9$$

依据“因式定理”，\lambda -k 是每个根 k 的多项式因数。 \lambda ^{3}-27\lambda ^{2}+243\lambda -729 除以 \lambda -9 得 \lambda ^{2}-18\lambda +81。 求解结果等于 0 的方程式。

$$\lambda ^{2}-18\lambda +81=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -18 替换 b、用 81 替换 c。

$$\lambda =\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 1\times 81}}{2}$$

完成计算。

$$\lambda =\frac{18±0}{2}$$

解是相同的。

$$\lambda =9$$