求解 ∫ (from 1 to 2) of x-sqrt{1/x wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } x- \sqrt{ \frac{ 1 }{ x } } d x$$

求值

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}\approx 0.671572875$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int x-\sqrt{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int x\mathrm{d}x-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。

$$\frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

将 \frac{1}{\sqrt{x}} 改写为 x^{-\frac{1}{2}}。 由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}。 简化并从指数形式转换为根式。 求 -1 与 2\sqrt{x} 的乘积。

$$\frac{x^{2}}{2}-2\sqrt{x}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{2^{2}}{2}-2\times 2^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1^{2}}{2}-2\times 1^{\frac{1}{2}}\right)$$

化简。

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}$$