求解 ∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

求值

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

求解步骤

首先计算定积分。

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

使用 \int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x 因式分解出常数。

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x 替换为 \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}。

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

化简。

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

化简。

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$