求解 ∫ (from -1 to 3) of x(x-1)(x+2) wrt x

$$\int_{ -1 }^{ 3 } x(x-1)(x+2) d x$$

求值

$$\frac{64}{3}\approx 21.333333333$$

求解步骤

使用分配律将 x 乘以 x-1。

$$\int _{-1}^{3}\left(x^{2}-x\right)\left(x+2\right)\mathrm{d}x$$

应用分配律，将 x^{2}-x 的每一项和 x+2 的每一项分别相乘。

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

合并 2x^{2} 和 -x^{2}，得到 x^{2}。

$$\int _{-1}^{3}x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

首先计算定积分。

$$\int x^{3}+x^{2}-2x\mathrm{d}x$$

逐项积分求和。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -2x\mathrm{d}x$$

在项末因式分解出常数。

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{3}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{4}}{4}。

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-2\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x^{2}\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{3}}{3}。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-2\int x\mathrm{d}x$$

由于 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 用于 k\neq -1，请将 \int x\mathrm{d}x 替换为 \frac{x^{2}}{2}。 求 -2 与 \frac{x^{2}}{2} 的乘积。

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-x^{2}$$

定积分就是积分上限处计算的表达式的反导数减去积分下限处计算的多项式的反导数所得的结果。

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-\left(\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}+\frac{\left(-1\right)^{3}}{3}-\left(-1\right)^{2}\right)$$

化简。

$$\frac{64}{3}$$